Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{x^3 - y^3 + z^3 + 3xyz}{(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z-x)^2},
\]

chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### Bước 1: Rút gọn tử số

Tử số, \(x^3 - y^3 + z^3 + 3xyz\), có thể được viết lại bằng cách sử dụng công thức \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)\).

Áp dụng công thức với \(a = x\), \(b = -y\), \(c = z\):

\[
x^3 - y^3 + z^3 + 3xyz = (x - y + z)((x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 - x(-y) - xz - (-y)z).
\]

Như vậy, tử số sẽ là:

\[
(x - y + z)(x^2 + y^2 + z^2 + xy - xz + yz).
\]

### Bước 2: Tính mẫu số

Mẫu số là:

\[
(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z-x)^2.
\]

Tính từng thành phần riêng lẻ:

\[
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2,
\]
\[
(y+z)^2 = y^2 + 2yz + z^2,
\]
\[
(z-x)^2 = z^2 - 2zx + x^2.
\]

Cộng tất cả lại:

\[
(x+y)^2 + (y+z)^2 + (z-x)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (y^2 + 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2).
\]

Rút gọn mẫu số:

\[
= 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2yz - 2zx.
\]

### Bước 3: Biểu thức chung

Cả tử số và mẫu số đều có thể được phân tích:

\[
\frac{(x - y + z)(T)}{2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz - zx)}.
\]

Vì vậy, biểu thức rút gọn là:

\[
\frac{(x - y + z)T}{2(x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz - zx)}.
\]

### Kết luận

Bằng cách áp dụng các công thức đại số và phân tích, biểu thức đã được rút gọn. Tùy thuộc vào ngữ cảnh sử dụng, bạn có thể tiếp tục đơn giản hóa hoặc tính giá trị cụ thể nếu có gán các giá trị cho \(x\), \(y\), và \(z\).