Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và AB = BD. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC ở E. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại F

Để chứng minh hai mệnh đề a) và b) trong bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp và hình học phẳng.

### a) Tứ giác AEFC nội tiếp đường tròn

1. **Tính chất của tứ giác nội tiếp**: Một tứ giác nội tiếp đường tròn nếu tổng các cặp đối diện góc của nó bằng 180 độ.

2. **Chứng minh góc**:
- Gọi \(\angle AEB\) là góc tạo thành giữa tiếp tuyến tại A và dây cung AE. Theo định lý tiếp tuyến, ta có \(\angle AEB = \angle ACB\).
- Bên cạnh đó, ta cũng có \(\angle AFC = \angle ADC\).
- Từ đó, ta tính được các góc:
\[
\angle AEB + \angle AFC = \angle ACB + \angle ADC = 180^\circ
\]

3. **Kết luận**: Như vậy, tứ giác AEFC có tổng các cặp đối góc bằng 180 độ và do đó AEFC nội tiếp đường tròn.

### b) Chứng minh EF // AD

1. **Sử dụng tính chất của dây tiếp tuyến và dây cung**: Từ kết quả chứng minh ở phần a), chúng ta có:
- \( \angle AEB = \angle ACB \) (từ tiếp tuyến).
- \( \angle AFB + \angle EFD = 180^\circ \).

2. **Sử dụng tính chất góc đồng vị**: Chúng ta cũng đã có:
- \( \angle ACB = \angle ADC \).
- Từ đó, có thể suy ra \( \angle ADE = \angle EFD\).

3. **Kết luận**: Do hai góc \( \angle ADE\) và \( \angle EFD \) bằng nhau, nên EF // AD.

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cả hai phần của bài toán.