Để tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(A\) có nghĩa và rút gọn, ta sẽ xem xét từng phần của biểu thức.

1. **Tìm điều kiện để \(A\) có nghĩa:**

- **Phần 1:** \(\frac{3(2\sqrt{x}+3)}{x\sqrt{x}-27}\)

- \(x \geq 0\) (bởi vì có \(\sqrt{x}\)).
- \(x \sqrt{x} - 27 \neq 0 \Rightarrow x \sqrt{x} \neq 27\).
- Tại \(x = 3\), ta có \(3\sqrt{3} - 27 = 0\), nên \(x \neq 3\).

- **Phần 2:** \(\frac{1}{\sqrt{x}+3} \cdot \frac{9}{\sqrt{x}+3}\) :

- \(\sqrt{x} + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -9\) (không cần thiết vì \(x\) phải lớn hơn hoặc bằng 0).

- **Phần 3:** \(\frac{\sqrt{x-2}}{x+\sqrt{x}-6}\)

- \(\sqrt{x - 2}\) phải có nghĩa, nghĩa là \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\).
- \(x + \sqrt{x} - 6 \neq 0\).

2. **Rút gọn biểu thức \(A\):**

Để rút gọn \(A\), ta thay thế các điều kiện đã tìm được và thực hiện phép số học. Ta sẽ cần tìm một điểm chung và thực hiện rút gọn các mẫu số.

Sau khi thực hiện phép cộng và rút gọn, sẽ có thể được biểu diễn thành một biểu thức đơn giản hơn.

3. **Tìm các giá trị nguyên để \(A < -1\)**:

Sau khi có biểu thức đơn giản, ta sẽ cần làm các phép tính để tìm nghiệm cho bất phương trình \(A < -1\). Các giá trị nguyên có thể thử từ 2 trở lên (theo điều kiện \(x \geq 2\)) và kiểm tra từng giá trị cho đến khi đáp ứng được điều kiện.

Cuối cùng, giải thử cho \(x = 2\) tới các giá trị lớn hơn sẽ đưa ra các kết quả cho \(A < -1\).

### Kết luận:
- Điều kiện cho \(x\) là \(x \geq 2\) và \(x \neq 3\).
- Rút gọn biểu thức \(A\) sẽ phụ thuộc vào các bước thực hiện cụ thể và kiểm tra với các giá trị nguyên từ 2 trở lên để xem biểu thức có nhỏ hơn -1 hay không.

Nếu cần thêm thông tin hoặc hướng dẫn cụ thể về từng tính toán, vui lòng cho biết!