Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Tia phân giác góc ADB cắt AB tại M, tia phân giác của góc ADC cắt AN tại N

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh MN // BC

Đầu tiên, hãy xem xét tam giác ABC với A là đỉnh và BC là cạnh đối diện. AD là trung tuyến, nên D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm trên AB nơi tia phân giác của góc ADB cắt AB, và N là điểm trên AC nơi tia phân giác của góc ADC cắt AC.

Theo định lý phân giác trong tam giác, ta có:
- \(\frac{AM}{MB} = \frac{AD}{DB}\)
- \(\frac{AN}{NC} = \frac{AD}{DC}\)

Vì D là trung điểm của BC, có:
- \(DB = DC\)

Như vậy, ta sẽ có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AD}{DB} \quad \text{và} \quad \frac{AN}{NC} = 1
\]

Từ đó, ta có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}
\]

Điều này có nghĩa rằng tỷ lệ phân đoạn trên hai cạnh AB và AC là như nhau, từ đó suy ra MN // BC (theo định lý tương ứng).

### b) Chứng minh I là trung điểm MN

Ta có MN // BC và D là trung điểm của BC. Vì vậy, theo định lý về đường trung bình trong tam giác, đường thẳng MN cắt AD tại điểm I sẽ chia AD thành hai đoạn bằng nhau.

Cụ thể, vì MN // BC, mà B và C đều nằm trên cạnh của tam giác ABC, nên I sẽ là trung điểm của đoạn MN.

### c) Tính độ dài MN

Dựa trên định lý về đường trung bình trong tam giác, nếu AD là trung tuyến của tam giác ABC, thì độ dài của MN sẽ bằng một nửa độ dài của BC.

Cụ thể:
\[
MN = \frac{1}{2} BC
\]

Mà theo đề bài, biết rằng \(BC = 30 \, \text{cm}\), ta có:
\[
MN = \frac{1}{2} \times 30 \, \text{cm} = 15 \, \text{cm}
\]

### Kết luận:

- a) MN // BC
- b) I là trung điểm của MN
- c) Độ dài MN là 15 cm.