Để tính biểu thức \(\frac{4}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}-2} + \frac{6}{\sqrt{3}-3}\), chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần 1: Tính \(\frac{4}{\sqrt{3}+1}\)

Để loại bỏ mẫu số có căn bậc hai, chúng ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{3}-1\):

\[
\frac{4}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1).
\]

### Phần 2: Tính \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)

Chúng ta không cần thực hiện phép biến đổi gì cho phần này vì mẫu đã ổn. Kết quả là:

\[
\frac{1}{\sqrt{3}-2}.
\]

### Phần 3: Tính \(\frac{6}{\sqrt{3}-3}\)

Cũng như trên, mẫu đã ổn. Kết quả là:

\[
\frac{6}{\sqrt{3}-3}.
\]

### Gộp lại

Biểu thức trở thành:
\[
2(\sqrt{3}-1) + \frac{1}{\sqrt{3}-2} + \frac{6}{\sqrt{3}-3}.
\]

### Tính giá trị

Bây giờ ta cần tính giá trị cụ thể của từng phần.

1. **Tính \(2(\sqrt{3}-1)\)**:

\[
2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3} - 2.
\]

2. **Tính \(\frac{1}{\sqrt{3}-2}\)** và \(\frac{6}{\sqrt{3}-3}\)**:

Chúng ta tính giá trị từng phần một:

\[
\frac{1}{\sqrt{3}-2} \approx \frac{1}{1.732-2} = \frac{1}{-0.268} \approx -3.73.
\]

\[
\frac{6}{\sqrt{3}-3} \approx \frac{6}{1.732-3} = \frac{6}{-1.268} \approx -4.73.
\]

### Kết hợp lại tất cả

Giá trị cuối cùng:
\[
2\sqrt{3} - 2 - 3.73 - 4.73 = 2\sqrt{3} - 10.46.
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \(\frac{4}{\sqrt{3}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}-2} + \frac{6}{\sqrt{3}-3}\) là:

\[
2\sqrt{3} - 10.46.
\]
(Chú ý rằng để có được giá trị chính xác hơn trong giá trị số, bạn có thể sử dụng máy tính để tính \(\sqrt{3}\) và các phép toán.)