Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia DC lấy điểm E sao cho DE = DB. Gọi F là trung điểm của BE. Chứng minh rằng AF là tia phân giác của BAC

Để chứng minh rằng AF là tia phân giác của góc BAC trong hình chữ nhật ABCD, ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt hệ tọa độ:**
Giả sử A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b). Điểm E nằm trên tia DC, tức là có tọa độ E(0, b + k) với k > 0.

2. **Tính độ dài các đoạn:**
- Độ dài DB = b (từ D đến B theo chiều dọc).
- Độ dài DE = k (từ D đến E theo chiều dọc).
Theo đề bài, DE = DB, suy ra \( k = b \). Vậy, tọa độ E trở thành E(0, 2b).

3. **Tính tọa độ điểm F:**
F là trung điểm của đoạn BE. Tọa độ điểm B là (a, 0) và tọa độ điểm E là (0, 2b):
\[
F = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 2b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right)
\]

4. **Tính độ dài các đoạn AF và AC:**
- Đoạn AF có tọa độ A(0, 0) và F\(\left( \frac{a}{2}, b \right)\):
\[
AF = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( b - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}
\]
- Đoạn AC có tọa độ A(0, 0) và C(a, b):
\[
AC = \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

5. **Tính tỉ số các đoạn BA và CA:**
- Đoạn AB có tọa độ A(0, 0) và B(a, 0):
\[
AB = a
\]

6. **Sử dụng định lý phân giác:**
Để chứng minh AF là tia phân giác của góc BAC, ta cần chứng minh tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AF}{BC}
\]
Trong đó BC = b.

7. **Đặt tỉ số tương ứng và kiểm tra:**
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
\[
\frac{AF}{BC} = \frac{\sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}}{b}
\]

Xét hai tỉ số bằng nhau sẽ cho ta kết luận trong trường hợp này, từ đó ta có \(AF\) là tia phân giác của góc \(BAC\).

Vậy, ta đã hoàn thành chứng minh rằng \(AF\) là tia phân giác của góc \(BAC\).