Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d dương có tổng bằng 4 thì: \[ \frac{1}{a^2+1} + \frac{1}{b^2+1} + \frac{1}{c^2+1} + \frac{1}{d^2+1} \geq 2 \]

Để chứng minh bất đẳng thức sau:

\[
\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + 1} + \frac{1}{d^2 + 1} \geq 2
\]

với điều kiện \( a + b + c + d = 4 \) và \( a, b, c, d > 0 \), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho tứ thức trên, ta có:

\[
\left( \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + 1} + \frac{1}{d^2 + 1} \right) \left( (a^2 + 1) + (b^2 + 1) + (c^2 + 1) + (d^2 + 1) \right) \geq (1 + 1 + 1 + 1)^2 = 16
\]

Tính tổng \( (a^2 + 1) + (b^2 + 1) + (c^2 + 1) + (d^2 + 1) \):

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 4
\]

Vì \( a + b + c + d = 4 \), theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a + b + c + d)^2 \leq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)
\]

Hay:

\[
16 \leq 4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq 4
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) + 4 \geq 4 + 4 = 8
\]

Vì vậy:

\[
\left( \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + 1} + \frac{1}{d^2 + 1} \right) \cdot 8 \geq 16 \Rightarrow \frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + 1} + \frac{1}{d^2 + 1} \geq 2
\]

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức cần thiết:

\[
\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + 1} + \frac{1}{d^2 + 1} \geq 2
\]

đối với mọi \( a, b, c, d > 0 \) và \( a + b + c + d = 4 \).