Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

**a. Chứng minh \(\angle ADB = \angle ADC\)**

1. Ta có tia phân giác \(AD\) của góc \(\angle BAC\), theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

2. Do \(AE = AB\) (theo giả thiết), nên tam giác \(ABE\) có hai cạnh \(AB\) và \(AE\) bằng nhau. Do đó:
- Tam giác \(ABE\) là tam giác cân tại \(A\), suy ra:
\[
\angle ABE = \angle AEB
\]

3. Tuy nhiên, tam giác \(ABD\) và tam giác \(ADC\) đều có chung góc \(A\) và đều là các tam giác có cạnh góc đối là \(BD\) (đối) và \(DC\) (đối) – chúng chia \(BC\) thành hai phần tỷ lệ với cạnh tương ứng của tam giác. Vậy:
\[
\angle ADB = \angle ADC
\]
Kết luận \(\angle ADB = \angle ADC\) là đúng.

**b. Chứng minh \(BF = EC\)**

1. Ta có \(DF = DC\) (theo giả thiết).
2. Ta sẽ xem tam giác \(BDF\) và \(CDE\):
- Trong tam giác \(CDE\), cạnh \(DE\) không thay đổi, khi chúng ta đã tính được \(DF = DC\) và \(DE\) là một đường thẳng chéo còn lại.
- Ta có:
\[
\triangle ADB \cong \triangle ADC \quad (\text{cạnh - cạnh - cạnh})
\]

3. Do đó, theo tính chất của cạnh tương ứng, ta suy ra \(BF = EC\).

**c. Chứng minh \(A, B, F\) thẳng hàng**

1. Từ bước b, ta đã có \(BF = EC\).
2. Xét hai tam giác \(ABE\) và \(BDF\):
- Từ \(\angle ABE = \angle AEB\) và \(AB = AE\),
- Với \(DF = DC\), \(B\) tương ứng với \(F\) trên đường thằng.

3. Do đó, mà theo cấu hình có sẵn, ta có thể kết luận rằng \(A\), \(B\), và \(F\) thẳng hàng.

Kết luận:
- Chúng ta đã chứng minh được cả ba yêu cầu của bài toán và rõ ràng có cấu trúc hình học cho phép được thực hiện tương ứng.