Để tính biểu thức

\[
19 \cdot \left( \sqrt{2} + 1 \right)^3 - \left( \sqrt{2} - 1 \right)^3,
\]

ta sử dụng công thức khai triển khối lập phương:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
\]

### Bước 1: Tính \((\sqrt{2} + 1)^3\)

Gọi \(a = \sqrt{2}\) và \(b = 1\):

\[
(\sqrt{2} + 1)^3 = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1^2) + 1^3.
\]

Tính từng phần:

- \((\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}\)
- \(3(\sqrt{2})^2(1) = 3 \cdot 2 = 6\)
- \(3(\sqrt{2})(1^2) = 3\sqrt{2}\)
- \(1^3 = 1\)

Thay vào, ta có:

\[
(\sqrt{2} + 1)^3 = 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1 = 7 + 5\sqrt{2}.
\]

### Bước 2: Tính \((\sqrt{2} - 1)^3\)

Gọi \(a = \sqrt{2}\) và \(b = -1\):

\[
(\sqrt{2} - 1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2(1) + 3(\sqrt{2})(1^2) - 1^3.
\]

Tính từng phần:

- \((\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}\)
- \(-3(\sqrt{2})^2(1) = -3 \cdot 2 = -6\)
- \(3(\sqrt{2})(1^2) = 3\sqrt{2}\)
- \(-1^3 = -1\)

Thay vào, ta có:

\[
(\sqrt{2} - 1)^3 = 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1 = -7 + 5\sqrt{2}.
\]

### Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu

Giờ ta tính:

\[
19 \cdot (7 + 5\sqrt{2}) - (-7 + 5\sqrt{2}).
\]

Phân tích:

\[
= 19 \cdot 7 + 19 \cdot 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2}.
\]

### Bước 4: Tính toán kết quả

\[
= 133 + 95\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2}.
\]

Gom lại:

\[
= 140 + 90\sqrt{2}.
\]

### Kết luận

Vậy kết quả của biểu thức là:

\[
140 + 90\sqrt{2}.
\]