Để chứng minh rằng \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \) khi \( x + y + z = 0 \), ta sử dụng định lý sau:

1. **Biến đổi phương trình**: Từ điều kiện \( x + y + z = 0 \), ta có thể viết \( z = -x - y \).

2. **Thay thế \( z \)**: Thay \( z \) vào biểu thức \( x^3 + y^3 + z^3 \):
\[
z^3 = (-x - y)^3 = - (x + y)^3 = - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)
\]
Như vậy:
\[
x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)
\]
\[
= x^3 + y^3 - x^3 - y^3 - 3x^2y - 3xy^2
\]
\[
= -3xy(x + y)
\]

3. **Biểu thức \( 3xyz \)**: Do \( z = -x - y \), ta có:
\[
3xyz = 3xy(-x - y) = -3xy(x + y)
\]

4. **So sánh hai biểu thức**: Từ bước 2 và bước 3, ta thấy:
\[
x^3 + y^3 + z^3 = -3xy(x + y) = 3xyz
\]

Vậy nên, ta đã chứng minh được rằng:
\[
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \text{ khi } x + y + z = 0.
\]