Cho hình bình hành ABCD. Gọi K và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD; E và F lần lượt là giao điểm của AH và CK với BD

Để chứng minh các kết luận trong bài toán về hình bình hành ABCD, ta sẽ làm theo các bước sau:

### a. Chứng minh rằng tứ giác AKCH là hình bình hành

**Thông tin cho sẵn:**
- K là trung điểm của AB.
- H là trung điểm của CD.

**Chứng minh:**
1. Ta biết rằng A và B là 2 điểm trên cạnh AB của hình bình hành.
- Khi K là trung điểm của AB, ta có: \( AK = KB \).

2. Tương tự, H là trung điểm của CD, nên ta có: \( CH = HD \).

3. Dựa vào tính chất của hình bình hành, ta có:
- \( AB \parallel CD \)
- \( AD \parallel BC \)

4. Xét 2 cặp cạnh:
- Cặp cạnh \( AK \) và \( CH \): Hai cạnh này lần lượt nằm trên 2 cạnh song song của hình bình hành.
- Cặp cạnh \( AH \) và \( CK \) cũng như vậy.

5. Vì K và H là trung điểm của các cạnh AB và CD, từ đó suy ra:
- \( AK = HC \) (bởi vì K và H đều là trung điểm).

6. Do đó, ta có:
- \( AK \parallel CH \),
- \( AH \parallel CK \) (cũng do đặc tính song song của hình bình hành).

Từ các giả thuyết và tính chất trên, ta có thể khẳng định được rằng tứ giác AKCH là hình bình hành (bởi vì nó có 2 cặp cạnh song song và bằng nhau).

### b. Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành

**Thông tin cho sẵn:**
- E và F là giao điểm của AH và CK với BD.

**Chứng minh:**
1. Tương tự, ta có AE và CF.
2. Vì E là giao điểm của AH và BD, và F là giao điểm của CK và BD, ta có rằng EF là đoạn thẳng nằm trên BD.
3. Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

4. Từ tứ giác AKCH là hình bình hành, ta có:
- \( AK \parallel CH \) và \( AH \parallel CK \).

5. Cạnh AE chính là đường thẳng nối A với E trên cạnh AH và cạnh CF nối C với F trên cạnh CK.

6. Ta xét các đoạn AE và CF:
- Giả sử AE và CF cắt nhau tại I (giao điểm) thì theo định nghĩa, AE = CF.

7. Từ đó, ta cũng có:
- AE song song với CF (do AH và CK song song với nhau).

Với những lý lẽ trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác AECF cũng là hình bình hành.

Hy vọng các chứng minh này sẽ giúp bạn với bài tập của mình!