Chứng minh FC là tia phân giác EFD

Để chứng minh rằng \( FC \) là tia phân giác của góc \( EFD \), chúng ta có thể sử dụng định nghĩa và tính chất của tia phân giác cùng với các tính chất của tam giác và tỉ lệ đoạn thẳng.

### Bước 1: Chứng minh \( \frac{EF}{FD} = \frac{EC}{CD} \)

1. **Thiết lập các tỉ lệ**:
- Gọi \( H \) là giao điểm của ba đường cao \( AD, BE, CF \).
- Vì \( H \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \), nên nó có những tính chất đặc biệt.

2. **Sử dụng định lý tia phân giác**:
- Theo định lý tia phân giác, nếu \( FC \) là tia phân giác của góc \( EFD \), thì sẽ có:
\[
\frac{EF}{FD} = \frac{EC}{CD}
\]

### Bước 2: Tính toán các đoạn theo tỉ lệ

- Sử dụng tính chất của tam giác và các đoạn thẳng bên trong tam giác \( EFD \):

3. **Tính các đoạn thẳng**:
- Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác:
\[
\text{Tính } EF, FD, EC, CD \text{ dựa trên nối kết với các điểm } M, N.
\]
- Hoặc sử dụng phương pháp tương tự tam giác.

### Bước 3: Kết luận

- Nếu chứng minh được rằng tỉ số \( \frac{EF}{FD} = \frac{EC}{CD} \) thì \( FC \) là tia phân giác của góc \( EFD \).

### Chứng minh đường thẳng \( D \) song song với \( EF \)

1. **Chứng minh \( D \) song song với \( EF \)**:
- Sử dụng tính chất của các đường cao và các đoạn trong tam giác.
- Chứng minh rằng \( KM \) vuông góc với \( AB \) và \( KN \) vuông góc với \( AC \).

Khi hoàn thành cả hai bước trên, ta sẽ có được các kết quả cần thiết cho bài toán.