Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = 3\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) - \frac{1}{x} \) với \( x > 0 \), chúng ta sẽ sử dụng biến đổi và đạo hàm.

1. **Biểu thức \( x^2 + \frac{1}{x^2} \)** có thể được viết lại dựa vào bất đẳng thức AM-GM:
\[
x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2
\]
Đạt được giá trị bằng 2 khi \( x = 1 \).

2. Tính giá trị của \( P \) tại \( x = 1 \):
\[
P(1) = 3\left( 1^2 + \frac{1}{1^2} \right) - \frac{1}{1} = 3(1 + 1) - 1 = 6 - 1 = 5.
\]

3. Để tìm giá trị cực tiểu, ta xét đạo hàm:
\[
P' = 3 \left( 2x - \frac{-2}{x^3} \right) + \frac{1}{x^2} = 6x + \frac{6}{x^3} - \frac{1}{x^2}.
\]
Đặt \( P' = 0 \) và giải phương trình đó để tìm giá trị của \( x \).

Dễ dàng thấy rằng tại điểm \( x = 1 \), \( P' = 6(1) + 6(1) - 1 = 11 > 0 \) và xét giới hạn khi \( x \to 0^+ \) và \( x \to +\infty \):
- Khi \( x \to 0^+ \), \( P \to +\infty \),
- Khi \( x \to +\infty \), \( P \to +\infty \).

4. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) xảy ra tại \( x = 1 \).

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là:
\[
\boxed{5}.
\]