Để chứng minh các đẳng thức trong hình 12, ta sẽ sử dụng các thuộc tính của tam giác vuông và các cạnh tương ứng.

### a) Chứng minh \( \Delta HMB = \Delta HNC \)

1. **Cạnh chung**: Ta có \( HM = HN \) (cạnh chung).
2. **Góc vuông**: \( \angle HBM = \angle HCN = 90^\circ \) (các góc vuông).
3. **Góc \( \angle MHB = \angle NHC \)**: Còn lại các góc ở mỗi tam giác bằng nhau (chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của các góc đối đỉnh hoặc các góc phụ).

Từ các yếu tố trên, ta áp dụng định lý tam giác:

\[
\Delta HMB \cong \Delta HNC \Rightarrow \Delta HMB = \Delta HNC.
\]

### b) Chứng minh \( \Delta AHM = \Delta AHN \)

1. **Cạnh chung**: \( AH \) là cạnh chung của hai tam giác.
2. **Góc vuông**: \( \angle AHM = \angle AHN = 90^\circ \).
3. **Góc \( \angle HMA = \angle HNA \)**: Cũng chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của các góc đối đỉnh hoặc góc phụ.

Từ các yếu tố trên, ta cũng áp dụng định lý tam giác:

\[
\Delta AHM \cong \Delta AHN \Rightarrow \Delta AHM = \Delta AHN.
\]

Vậy ta đã hoàn thành chứng minh.