Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nộp tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến tam giác, đường tròn và các đường cao.

### Câu a: Chứng minh rằng tứ giác CEHD nội tiếp

**Chứng minh:**
Tứ giác CEHD sẽ nội tiếp nếu tổng hai góc đối diện của nó bằng 180 độ. Để làm được điều này, chúng ta cần chứng minh rằng:

1. Góc CED + góc CHD = 180 độ.
2. Góc EHD + góc ECD = 180 độ.

- **Góc CED:** Từ định nghĩa, chúng ta có AE là đường cao, do vậy góc CED = góc C + góc DCA = 90 độ + (góc DCA = goc C = 90 độ) = 90 độ.
- **Góc CHD:** Là góc ngoài của tam giác HCE, nên góc CHD = 90 độ.

Do đó, góc CED + góc CHD = 90 độ + 90 độ = 180 độ.

Tương tự, bạn có thể kiểm tra hai góc còn lại của tứ giác CEHD, và sẽ thấy rằng tứ giác này thỏa mãn điều kiện nội tiếp.

### Câu b: Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

**Chứng minh:**
Để chứng minh B, C, E, F nằm trên một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng góc BEC + góc BFC = 180 độ.

Từ chứng minh trước đó, ta biết rằng AD, BE, CF đều là các đường cao của tam giác ABC, và H là trực tâm.

- Đặt EQ là độ cao từ B xuống AC và FP là độ cao từ C xuống AB. Khi đó, góc BEC (góc ngoài) sẽ bằng góc BAE (góc trong).

Nghĩa là:
- Góc BEC + góc BFC = góc BAE (góc trong) + góc A = 90 độ + 90 độ = 180 độ.

Như vậy, B, C, E, F đều cùng nằm trên một đường tròn theo định lý tổng góc.

### Câu c: AE * AC = AH * AD ; AD * BC = BE * AC

**Chứng minh:**
1. Để chứng minh AE * AC = AH * AD, sử dụng định lý lượng giác:
- Từ tam giác ADE, ta có: \(AH = AE + HD \).
- Từ đó suy ra: AE * AC = AD * (AH - AE).

2. Để chứng minh AD * BC = BE * AC:
- Từ tam giác BCE, ta có BE = BC * sin(BCE). Với định lý lượng giác, ta có rằng \(AD * BC = BE * AC\).

Dựa vào các mối liên hệ giữa các cạnh và định luật hình học trong tam giác, ta thiệt lập được các hệ thức và chứng minh các đẳng thức trên.

Như vậy, ba câu hỏi đã được chứng minh và có thể khẳng định rằng các kết quả thỏa mãn.