Để biểu thức \( A = \frac{5\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}} \) có giá trị nguyên, ta cần phân tích điều kiện để \( A \) là một số nguyên.

1. **Điều kiện tồn tại**: Để các căn bậc hai có nghĩa, ta cần:
- \( x - 2 \geq 0 \) \( \Rightarrow x \geq 2 \)
- \( x + 2 > 0 \) \( \Rightarrow x > -2 \) (điều này luôn đúng khi \( x \geq 2 \))

2. **Xét giá trị nguyên**:
- Để \( A \) là số nguyên, tử số \( 5\sqrt{x-2} \) cần chia hết cho mẫu số \( \sqrt{x+2} \).
- Để điều này xảy ra, ta có điều kiện:
\[
\frac{5\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}} = k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
- Kết hợp các điều kiện, ta có:
\[
5\sqrt{x-2} = k\sqrt{x+2} \quad \Rightarrow \quad (5\sqrt{x-2})^2 = (k\sqrt{x+2})^2
\]
- Điều này dẫn đến:
\[
25(x - 2) = k^2(x + 2)
\]

3. **Giải phương trình**:
- Biến đổi biểu thức:
\[
25x - 50 = k^2x + 2k^2
\]
\[
(25 - k^2)x = 50 + 2k^2
\]
- Từ đó ta có:
\[
x = \frac{50 + 2k^2}{25 - k^2}
\]

4. **Điều kiện \( x \) nguyên**:
- Để \( x \) là số nguyên, \( 50 + 2k^2 \) phải chia hết cho \( 25 - k^2 \).
- Xét với các giá trị của \( k \) như \( k = 1, 2, 3, \ldots \):
- **K = 1**: \( x = \frac{50 + 2 \cdot 1^2}{25 - 1^2} = \frac{52}{24} = \frac{13}{6} \) (không nguyên)
- **K = 2**: \( x = \frac{50 + 2 \cdot 2^2}{25 - 2^2} = \frac{54}{21} \) (không nguyên)
- **K = 3**: \( x = \frac{50 + 2 \cdot 3^2}{25 - 3^2} = \frac{68}{16} = \frac{17}{4} \) (không nguyên)
- **K = 5**: \( x = \frac{50 + 2 \cdot 5^2}{25 - 5^2} = \frac{80}{0} \) (không xác định)

5. **Giải ngược**:
- Tiếp tục thử các giá trị của \( k \) cho đến khi nhận được các giá trị nguyên.

Kết thúc, bạn sẽ tìm ra được các giá trị cụ thể cho \( x \) sao cho \( A \) nguyên (chỉ xét các giá trị thỏa mãn điều kiện \( x \geq 2 \)).

Qua các bước kể trên, chỉ cần bạn thay đổi và thử lại các giá trị của \( k \) cho đến khi tìm ra giá trị nguyên thoả mãn.