Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia Bx//AC, Bx cắt AD ở E. Chứng minh AC = EB

Để chứng minh \(AC = EB\) trong tam giác \(ABC\) như đề bài đã cho, ta có thể sử dụng các tính chất hình học cơ bản. Dưới đây là cách tiến hành chứng minh:

### a) Chứng minh \(AC = EB\):

1. **Thiết lập thông tin**:
- \(D\) là trung điểm của \(BC\), nghĩa là \(BD = DC\).
- \(Bx \parallel AC\), do đó \(\angle ACB = \angle EBD\) (tính chất của hai đường thẳng song song).

2. **Sử dụng định lý bao lồi**:
- Xét tam giác \(ABE\) và \(CDE\):
- Có \(\angle ABE = \angle EBD\) (do góc đồng vị).
- Có \(\angle AEB = \angle CDE\) (do góc so le trong).

3. **Kết luận**:
- Theo định lý góc, nếu hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác tương ứng \(ABE\) và \(CDE\) là đồng dạng. Từ đó, ta suy ra tính chất tỉ lệ của các cạnh:
- \(\frac{AC}{EB} = \frac{AB}{CD}\).

4. **Áp dụng tính chất**
- Vì \(D\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BD = DC\) nên \(AB = CD\). Do đó, ta kết luận rằng \(AC = EB\).

### b) Chứng minh \(FA_1 = IB_E\):

1. **Xác định điểm \(F\)**:
- Điểm \(F\) được lấy sao cho \(AF = AC\).

2. **Áp dụng định lý trong tam giác**:
- Xét tam giác \(AIF\) và \(IBE\), ta có:
- \(\angle AIF = \angle IBE\) (góc giữa hai đường thẳng).

3. **Kết luận**:
- Giống như trên, ta thấy \(AF = AC\) tương đương với \(EB = AC\), do đó \(FA = IB\).

### c) Chứng minh \(\Delta AIF = \Delta BIE\):

1. **Sử dụng định lý về hai tam giác**:
- Trong hai tam giác \(AIF\) và \(BIE\), ta có các cặp cạnh và góc tương ứng:
- \(AF = EB\),
- \(AI = BI\)(Cùng một biểu thức AB),
- \(\angle AIF = \angle IBE\).

2. **Kết luận**:
- Với ba cạnh tương ứng và hai góc bằng nhau, hai tam giác là đồng dạng, nên ta có \(\Delta AIF = \Delta BIE\).

Đây là cách thức chứng minh cho các phần của bài toán. Mong rằng điều này giúp ích cho bạn!