Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính độ dài AM

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, AM là trung tuyến từ A đến BC. Theo định lý trung tuyến trong tam giác, độ dài AM được tính theo công thức:
\[ AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \]

Biết rằng BC = 9 cm. Để tìm AM, trước tiên ta cần độ dài AB và AC. Theo tính chất của tam giác vuông, độ dài BC cũng có thể tính theo định lý Pythagoras:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Vì không có thông tin cụ thể về AB và AC, giả sử:
- AB = x
- AC = y

Thì ta có:
\[ x^2 + y^2 = 9^2 = 81 \]

Có thể sử dụng tính chất trung tuyến, nhưng ta cần thêm thông tin. Nếu ví dụ gặp trường hợp AB = AC (tam giác vuông cân), ta có:

\[ AB = AC = \frac{BC}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} \]

Tính AM:
\[ AM = \frac{1}{2} BC = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ cm} \]

### b) Tứ giác ADME

Tứ giác ADME được hình thành từ các điểm A, D, M, E, với MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC.

Vì MD và ME đều vuông góc với cạnh của tam giác ABC, ta có:
- AD và AM là hai đương chéo vuông góc => ADME là hình chữ nhật vì AD và ME vuông góc với AB và AC.

### c) Tứ giác DECB

Tứ giác DECB được hình thành từ các điểm D, E, C, B.

DE là đoạn nối giữa hai lần đường thẳng vuông góc của hai cạnh của tam giác vuông, vì vậy:
- Tứ giác DECB có hai cạnh DE và CB không bằng nhau, nhưng có ba góc vuông tại E, D, và C.

Từ đó, DECB là hình chữ nhật (vì DE // AB và CB // AC và những đoạn này đồng thời vuông góc nhau).

### Kết luận

1. **AM** = 4.5 cm (nếu ABC vuông cân tại A).
2. Tứ giác **ADME** là hình chữ nhật.
3. Tứ giác **DECB** là hình chữ nhật.