Để chứng minh \( MN \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và hình học phẳng.

1. **Ký hiệu các điểm**: Giả sử \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \).

2. **Tính tọa độ của M và N**:
- Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AC \):
\[
M\left(\frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}\right)
\]
- Trung điểm \( N \) của đoạn thẳng \( BD \):
\[
N\left(\frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2}\right)
\]

3. **Tính độ dốc của các đường thẳng**:
- Độ dốc của đoạn thẳng \( AB \):
\[
k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]
- Độ dốc của đoạn thẳng \( CD \):
\[
k_{CD} = \frac{y_4 - y_3}{x_4 - x_3}
\]
- Do \( AB \parallel CD \), ta có \( k_{AB} = k_{CD} \).

4. **Tính độ dốc của đoạn thẳng MN**:
- Độ dốc của đoạn thẳng \( MN \):
\[
k_{MN} = \frac{\frac{y_2 + y_4}{2} - \frac{y_1 + y_3}{2}}{\frac{x_2 + x_4}{2} - \frac{x_1 + x_3}{2}} = \frac{(y_2 + y_4) - (y_1 + y_3)}{(x_2 + x_4) - (x_1 + x_3)} = \frac{(y_2 - y_1) + (y_4 - y_3)}{(x_2 - x_1) + (x_4 - x_3)}
\]

5. **Rút ra kết luận về độ dốc**:
- Ta có \( k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) và \( k_{CD} = \frac{y_4 - y_3}{x_4 - x_3} \).
- Vì \( k_{AB} = k_{CD} \), nên chúng ta có thể thấy rằng nếu cộng các độ dốc này theo cách sao cho tồn tại tỷ lệ tương đương giữa độ dốc của \( AB \) và \( CD \), thì độ dốc của \( MN \) cũng sẽ bằng độ dốc của \( AB \) và \( CD \) (do bậc hai của phân số).

6. **Kết luận**:
- Vì độ dốc của \( MN \) bằng độ dốc của \( AB \) và \( CD \), nên ta có \( MN \parallel AB \) và \( MN \parallel CD \).

Như vậy, \( MN \) song song với cả hai cạnh \( AB \) và \( CD \).