Để chứng minh các khẳng định trong bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh ΔOAD = ΔOCB

- **Giả thiết**: OA = OC, OB = OD (theo đề bài).
- **Góc**: Góc OAD = Góc OCB (cùng nằm trong một góc nhọn xOy).
- **Cạnh chung**: OA & OC là các cạnh của tam giác OAD và OCB.

Theo tiêu chuẩn tam giác đồng dạng (cạnh - góc - cạnh), ta có ΔOAD = ΔOCB.

### b) Chứng minh ΔABM = ΔCDM

- **Giả thiết**: AB = CD (do OA < OB và OC = OA, OD = OB).
- **Góc**: Góc ABM = Góc CDM (do cả hai tam giác đều có chung hai đoạn thẳng MB).
- **Cạnh chung**: DM & MB chung cho cả hai tam giác.

Vì vậy, theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh, ΔABM = ΔCDM.

### c) Chứng minh OM là tia phân giác của góc xOy

- Ký hiệu O là giao điểm của OM và BD.
- Từ các tam giác đã được chỉ ra (ΔOAD = ΔOCB và ΔABM = ΔCDM), ta có các góc tương ứng xung quanh O.

Vì thế, OM sẽ chia góc xOy làm hai góc bằng nhau.

### d) Chứng minh ON ⊥ BD

- Theo các tam giác đã chứng minh, ta có N là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
- Do OM đã là phân giác của góc xOy, nó sẽ vuông góc với đường thẳng BD.

Do đó, ON ⊥ BD.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được bốn khẳng định theo yêu cầu trong bài toán.