Để hàm số \( y = \frac{1}{3}(m^2 + 2m)x^3 - (m^2 + 2m)x^2 + mx - 2025 \) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần điều kiện rằng đạo hàm \( y' \) phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 đối với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số:

\[
y' = (m^2 + 2m)x^2 - 2(m^2 + 2m)x + m
\]

Ta cần khảo sát dấu của đạo hàm để hàm số nghịch biến. Để \( y' \leq 0 \) với mọi \( x \), ta cần phương trình bậc hai \( (m^2 + 2m)x^2 - 2(m^2 + 2m)x + m \) luôn không dương. Một phương trình bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) sẽ luôn không dương nếu:

1. \( a \leq 0 \)
2. Delta \( \Delta \) không dương, tức là \( b^2 - 4ac \leq 0 \)

Áp dụng vào bài toán:

1. \( a = m^2 + 2m \)
- Để \( a \leq 0 \), ta có:
\[
m^2 + 2m \leq 0 \implies m(m + 2) \leq 0
\]
Giải bất phương trình này, ta tìm được \( m \) thuộc đoạn \( [-2, 0] \).

2. \( b = -2(m^2 + 2m) \) và \( c = m \)
- Delta \( \Delta = (-2(m^2 + 2m))^2 - 4(m^2 + 2m)m \):
\[
\Delta \leq 0 \implies 4(m^2 + 2m)^2 - 4(m^2 + 2m)m \leq 0
\]
\[
4(m^2 + 2m)(m^2 + 2m - m) \leq 0
\]
\[
4(m^2 + 2m)(m^2 + m) \leq 0
\]

Ta phân tích từng thừa số:
- \( m^2 + 2m \) đã được xét ở bước 1.
- \( m^2 + m = m(m + 1) \):
- Bất phương trình \( m(m + 1) \leq 0 \) cho ta \( m \in [-1, 0] \).

Để tổng hợp lại, ta tìm giao của các đoạn:

- Từ \( m(m + 2) \leq 0 \) cho \( m \in [-2, 0] \)
- Từ \( m(m + 1) \leq 0 \) cho \( m \in [-1, 0] \)

Giao giữa các đoạn là \( m \in [-1, 0] \).

Các giá trị nguyên trong đoạn này là: \(-1, 0\).

Vậy có tất cả **2 giá trị nguyên** của tham số \( m \) để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \).