Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của tam giác và các đoạn thẳng song song.

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và MN

1. **Xác định độ dài các đoạn thẳng AK, KI, IH:**
- Gọi AH là đường cao của tam giác ABC.
- Do \( AK = KI = IH \), ta có tổng chiều dài \( AH = AK + KI + IH = 3AK \).
- Gọi \( AK = x \), thì \( AH = 3x \).

2. **Thay vào tỉ lệ của các tam giác:**
- Xét tam giác \( ABC \) và hai tam giác \( AIE \) và \( AHMN \).
- Bởi vì \( EF \parallel BC \) và \( MN \parallel BC \), theo định lý tỉ lệ, ta có:
\[
\frac{EF}{BC} = \frac{AI}{AH} \quad \text{và} \quad \frac{MN}{BC} = \frac{AK}{AH}
\]
- Ta biết rằng chiều dài \( BC = 12cm \).

3. **Tính các độ dài:**
- Khi lấy các điểm \( I, K \) như đã nêu, ta có \( AI = AK + KI = 2x \) và \( AH = 3x \).
- Do đó, ta có:
\[
\frac{EF}{12} = \frac{2x}{3x} \Rightarrow EF = 12 \times \frac{2}{3} = 8cm
\]
\[
\frac{MN}{12} = \frac{x}{3x} \Rightarrow MN = 12 \times \frac{1}{3} = 4cm
\]

### b) Tính diện tích tứ giác MNEF

1. **Diện tích tứ giác MNEF:**
- \( MNEF \) có thể chia thành hai tam giác là \( MNE \) và \( EFN \).
- Diện tích của tam giác \( ABC = 240 cm^2 \).
- Tỉ lệ diện tích của \( MNEF \) so với \( ABC \) cũng sẽ tỉ lệ với các chiều cao tương ứng từ \( A \) đến các đoạn thẳng này.
- Tính tỉ lệ chiều cao của \( EF \) và \( MN \):
\[
\text{Diện tích tứ giác } MNEF = \text{Diện tích tam giác } ABC \times \frac{EF + MN}{BC} = 240 \times \frac{8 + 4}{12} = 240 \times 1 = 240 cm^2.
\]

Tóm lại:
- a) Đoạn thẳng \( EF = 8cm \) và \( MN = 4cm \).
- b) Diện tích tứ giác \( MNEF = 240 cm^2 \).