Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Tính giá trị của biểu thức \( M \) khi \( x = \frac{1}{9} \).

\[
M = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x}}
\]

Thay \( x = \frac{1}{9} \):

\[
M = \frac{\sqrt{\frac{1}{9}} + 6}{\sqrt{\frac{1}{9}}} = \frac{\frac{1}{3} + 6}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{18}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{19}{3}}{\frac{1}{3}} = 19
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( N \).

Biểu thức \( N \) là:

\[
N = \frac{2\sqrt{x}}{5+\sqrt{x}} + \frac{2x}{25-x} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}
\]

Rút gọn từng phần:
1. **Phần đầu**: \( \frac{2\sqrt{x}}{5+\sqrt{x}} \)
2. **Phần hai**: \( \frac{2x}{25-x} \)
3. **Phần ba**: \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5} \)

Sử dụng các phép biến đổi đại số và quy đồng mẫu (nếu cần) để rút gọn.

### c) Xét biểu thức \( Q = M \cdot N \) và so sánh \( Q \) với \( Q^2 \).

Đầu tiên, tính \( Q \):

\[
Q = M \cdot N
\]

Sau đó, tìm \( Q^2 \):

\[
Q^2 = (M \cdot N)^2 = M^2 \cdot N^2
\]

So sánh \( Q \) và \( Q^2 \):
- Nếu \( Q > 1 \), thì \( Q^2 > Q \).
- Nếu \( Q = 1 \), thì \( Q^2 = Q \).
- Nếu \( Q < 1 \), thì \( Q^2 < Q \).

Áp dụng và kết luận dựa vào các giá trị cụ thể đã tính.

**Lưu ý:** Để có kết quả chính xác cho phần b), bạn cần tính cụ thể các phần rút gọn và đánh giá.