Để rút gọn biểu thức \( B \), ta có:

\[
B = \frac{x - 3}{x - 1} \cdot \frac{2}{\sqrt{x + 1}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 1}}
\]

Ta sẽ thực hiện từng bước:

1. **Gom lại các phần tử**:
\[
B = \frac{2(x - 3)}{(x - 1)\sqrt{x + 1}\sqrt{x - 1}}
\]

2. **Rút gọn** các biểu thức ở tử số và mẫu số. Bây giờ ta cần đơn giản hóa biểu thức, nhìn vào biểu thức, ta có:

- Tử số: \( 2(x - 3) \)
- Mẫu số: \( (x - 1)\sqrt{(x + 1)(x - 1)} \)

3. **Khởi tạo điều kiện** để \( B \) tồn tại:
- \( x - 1 \neq 0 \) (tức là \( x \neq 1 \))
- \( x + 1 > 0 \) (tức là \( x > -1 \))
- \( x - 1 > 0 \) (tức là \( x > 1 \))
- Do đó, điều kiện tiên quyết là \( x > 1 \).

Kết quả gọn lại:
\[
B = \frac{2(x - 3)}{(x - 1)\sqrt{(x + 1)(x - 1)}}
\]

Tiếp theo, để tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( \frac{A}{B} < 1 \):

Ta có:
\[
\frac{A}{B} = \frac{2/\sqrt{x + 1}}{\frac{2(x - 3)}{(x - 1)\sqrt{(x + 1)(x - 1)}}} = \frac{(x - 1)}{(x - 3)}
\]

Giải bất phương trình \( \frac{x - 1}{x - 3} < 1 \):
\[
x - 1 < x - 3 \quad \Longrightarrow \quad -1 < -3
\]
Điều này không bao giờ đúng nên ta không tìm được giá trị nào thỏa mãn điều kiện trên.

Xin lưu ý rằng có thể cần kiểm tra lại các điều kiện về dấu và phạm vi của biến \( x \) khi giải bài toán này.