Để giải bài toán, ta gọi hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là \( a \) và \( b \). Theo đề bài, ta có:

1. Hiệu của hai cạnh:
\[
a - b = 4 \quad (1)
\]

2. Diện tích tam giác:
\[
\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 48 \implies a \cdot b = 96 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
a = b + 4
\]

Thay vào phương trình (2):
\[
(b + 4) \cdot b = 96
\]
\[
b^2 + 4b - 96 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2 bằng công thức:
\[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
= \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{400}}{2}
\]
\[
= \frac{-4 \pm 20}{2}
\]

Ta có hai nghiệm:
\[
b_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{và} \quad b_2 = \frac{-24}{2} = -12 \quad (\text{không hợp lệ})
\]

Vậy \( b = 8 \), và từ (1) ta có:
\[
a = b + 4 = 8 + 4 = 12
\]

Kết luận, các cạnh góc vuông của tam giác là \( a = 12 \, m \) và \( b = 8 \, m \).