Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần.

### a) Chứng minh \( AM = DE \)

Gọi \( A(0, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(0, c) \) là tọa độ của các đỉnh tam giác vuông \( ABC \), với \( AB = b < AC = c \).

Toạ độ điểm \( M \), trung điểm của \( BC \) là:
\[
M = \left( \frac{b + 0}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

- Để tìm toạ độ điểm \( D \) trên \( AB \), ta nhớ rằng \( MD \) vuông góc với \( AB \), tức là \( y = 0 \). Do đó, hoành độ của \( D \) vẫn là \( b \), tức là \( D = (x_D, 0) \) với \( x_D \in [0, b] \). Từ \( M \), phương trình đường thẳng \( MD \) được viết theo dạng:
\[
y - \frac{c}{2} = \frac{0 - \frac{c}{2}}{x_D - \frac{b}{2}}(x - \frac{b}{2})
\]

Giải phương trình này sẽ tìm được toạ độ của \( D \).

- Tương tự, ta tìm toạ độ của \( E \) trên \( AC \), với \( ME \) vuông góc \( AC \). Hoành độ \( E \) sẽ là \( (0,y_E)\). Điều này đồng nghĩa với việc ta sẽ có toạ độ của \( E \) và có thể tỷ lệ hóa giữa các cạnh.

Để chứng minh \( AM = DE \), chúng ta có:
\[
AM = \sqrt{ \left( \frac{b}{2} \right)^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2 }
\]
và
\[
DE = \sqrt{ (x_D - 0)^2 + (0 - y_E)^2 }
\]

Sau đó, chứng minh rằng \( AM = DE\) thông qua việc khai báo các công thức trên. (Trong xử lý điều này, bạn cần xác định và so sánh tỉ lệ các đoạn thẳng.)

### b) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành

Để chứng minh \( DMCE \) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cạnh đối diện bằng nhau và song song.

1. **Đoạn \( DM \) song song với \( CE \):** Ta xét độ dốc của hai đoạn này.
2. **Đoạn \( DC \) song song với \( ME \):** Tương tự như trên, ta show độ dốc.

Nếu có điểm \( M \) và \( D \) xếp thẳng hàng song song với các cặp cạnh, ta sẽ thấy:

\[
DM \parallel CE \text{ và } DC \parallel ME
\]

3. Hơn nữa, nếu \( AM = DE \), từ đó cho \( DM \) sẽ bằng \( CE \) (do \( M \) là trung điểm).

=> Từ định nghĩa, tứ giác sẽ là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác \( DHME \) là hình thang cân

Để chứng minh \( DHME \) là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cạnh bên của nó \( DH \) và \( ME \) bằng nhau hoặc đường thẳng song song.

Khởi đầu bằng việc:

1. **Chứng minh \( DH \parallel ME \)**: Điều này có thể thực hiện bằng cách tương tự ở trên cho hai đoạn thẳng mà.

2. **Khẳng định rằng căn cứ vào phương trình và định lý hình học, chiều cao từ \( H \) đến cạnh \( AB \) bằng chiều cao từ \( M \) đến cạnh \( AC \)**.

Từ đó rút ra rằng nếu \( DH \parallel ME \) thì \( DHME\) sẽ là hình thang cân.

Coi như bạn đã hoàn tất các phần, bạn có thể điền thêm các phép tính hay đường đi khoảng cách cho rõ ràng và hợp lý hơn khi trình bày chi tiết trong bài thi hoặc làm bài tập.