Cho ∆ABC có trung tuyên AM. Qua trọng tâm G kẻ đường thăng song song với BC căt AB, AC lần lượt tại D, E

Để giải bài toán này, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3} \)

1. Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Theo định nghĩa trung điểm, ta có \( BM = MC \).

2. Từ tính chất của trọng tâm \( G \), ta biết rằng \( G \) chia mỗi trung đoạn của tam giác theo tỉ lệ 2:1, tức là \( AG:GM = 2:1 \).

3. Xét tam giác \( ABM \), điểm \( G \) sẽ chia cạnh \( AM \) thành đoạn \( AG \) và \( GM \) với tỉ lệ \( \frac{AG}{GM} = 2 \).

4. Tương tự, đối với cạnh \( AC \), ta có:

\[
AD + DB = AB \implies AD + BM = AB
\]

5. Nhờ vào tính chất của tỉ lệ trong tam giác, ta có:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AG}{AG + GM} = \frac{AG}{AM} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}
\]

### b) Chứng minh \( AE = 2EC \)

1. Theo định nghĩa của trọng tâm và tính chất của đường thẳng song song, điểm \( G \) chia đoạn \( AM \) theo tỉ lệ \( 2:1 \), tức là:

\[
\frac{AG}{GM} = 2 \quad \text{với} \quad GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}(AE + EC)
\]

2. Lại do \( D \) và \( E \) là các điểm thuộc các đoạn thẳng và là hình chiếu của \( G \) trên \( AB \) và \( AC \), nên \( AE \) và \( EC \) cũng bị chia theo tỉ lệ tương tự.

3. Theo định lý cơ bản, ta biết rằng:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB} = 2 \quad \text{(vì AE và EC cũng chia theo tỉ lệ 2:1)}
\]

4. Suy ra, từ tỉ lệ trên:

\[
AE = 2EC
\]

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được cả hai mệnh đề:
- \( \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3} \)
- \( AE = 2EC \)

Như vậy, bài toán đã được hoàn thành.