Tổng số học sinh của trường khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 5 học sinh và xếp hàng 11 thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường, biết rằng tổng số học sinh của trường nhỏ hơn 1000

Để giải bài toán này, chúng ta lập phương trình từ các điều kiện đã cho:

1. Gọi \( N \) là tổng số học sinh của trường.
2. Theo bài, \( N \) khi xếp hàng 20, 25, và 30 đều dư 5 học sinh. Điều này có thể diễn đạt bằng các phương trình sau:
- \( N \equiv 5 \mod 20 \)
- \( N \equiv 5 \mod 25 \)
- \( N \equiv 5 \mod 30 \)

3. Điều này có nghĩa là \( N - 5 \) là bội số của 20, 25 và 30. Ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 20, 25 và 30.
- \( BCNN(20, 25, 30) = 300 \)

4. Do đó, ta có thể viết:
\[
N - 5 = 300k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
hoặc
\[
N = 300k + 5
\]

5. Theo điều kiện thứ hai, \( N \) xếp hàng 11 thì vừa đủ, nghĩa là:
\[
N \equiv 0 \mod 11
\]

6. Kết hợp lại, ta có:
\[
300k + 5 \equiv 0 \mod 11
\]
=> \( 300k \equiv -5 \mod 11 \)

7. Tính \( 300 \mod 11 \):
\[
300 \div 11 \approx 27 \quad \Rightarrow \quad 300 - 297 = 3 \quad \Rightarrow \quad 300 \equiv 3 \mod 11
\]
Thay vào phương trình:
\[
3k \equiv -5 \mod 11
\]
Thay \(-5\) thành \(6\) (vì \(-5 + 11 = 6\)):
\[
3k \equiv 6 \mod 11
\]

8. Chia cả hai vế cho 3, ta có:
\[
k \equiv 2 \mod 11
\]
=> \( k = 11m + 2 \) với \( m \in \mathbb{Z} \).

9. Thay \( k \) vào phương trình \( N \):
\[
N = 300(11m + 2) + 5 = 3300m + 600 + 5 = 3300m + 605
\]

10. Cuối cùng, theo điều kiện \( N < 1000 \):
\[
3300m + 605 < 1000
\]
=> \( 3300m < 395 \)
=> \( m < \frac{395}{3300} \approx 0.1197 \)

Do đó, \( m = 0 \). Thay \( m = 0 \) vào \( N \):
\[
N = 605
\]

**Kết luận:** Tổng số học sinh của trường là 605.