Để phương trình \(x^2 - 6x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1\) và \(x_2\), trước tiên ta cần có điều kiện về delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
Trong trường hợp của phương trình này, \(a = 1\), \(b = -6\) và \(c = m\), ta có:

\[
\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 36 - 4m
\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

\[
36 - 4m > 0 \implies 36 > 4m \implies m < 9
\]

Tiếp theo, ta biết rằng \(x_1 - x_2 = 4\). Theo công thức tính hiệu hai nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
x_1 - x_2 = \sqrt{\Delta} / a
\]
Với \(a = 1\), ta có:

\[
x_1 - x_2 = \sqrt{\Delta} = \sqrt{36 - 4m}
\]

Theo đề bài, ta có:

\[
\sqrt{36 - 4m} = 4
\]

Bình phương hai vế, ta có:

\[
36 - 4m = 16
\]

Giải phương trình trên:

\[
36 - 16 = 4m \implies 20 = 4m \implies m = 5
\]

Cuối cùng, để kiểm tra, ta cần xác nhận rằng giá trị \(m = 5\) thỏa mãn điều kiện đầu tiên \(m < 9\).

Vậy, giá trị \(m\) thỏa mãn các điều kiện là \( \boxed{5} \).