Để chứng minh bất đẳng thức \( 3^n > 3n + 1 \) với mọi số tự nhiên \( n \geq 2 \), ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.

### Bước 1: Kiểm tra với \( n = 2 \)

\[
3^2 = 9 \quad \text{và} \quad 3 \cdot 2 + 1 = 7
\]
Ta có \( 9 > 7 \), điều này đúng.

### Bước 2: Giả sử đúng với \( n = k \)

Giả sử \( 3^k > 3k + 1 \) là đúng với \( k \geq 2 \).

### Bước 3: Chứng minh với \( n = k + 1 \)

Ta cần chứng minh rằng \( 3^{k+1} > 3(k + 1) + 1 \).

Ta có:

\[
3^{k+1} = 3 \cdot 3^k
\]

Theo giả thiết quy nạp, \( 3^k > 3k + 1 \), nên:

\[
3^{k+1} > 3(3k + 1) = 9k + 3
\]

Bây giờ, ta cần so sánh \( 9k + 3 \) với \( 3(k + 1) + 1 \):

\[
3(k + 1) + 1 = 3k + 3 + 1 = 3k + 4
\]

Vậy ta cần chứng minh:

\[
9k + 3 > 3k + 4
\]

Biến đổi bất đẳng thức trên:

\[
9k + 3 - 3k > 4 \Longrightarrow 6k + 3 > 4 \Longrightarrow 6k > 1 \Longrightarrow k > \frac{1}{6}
\]

Điều này đúng với mọi \( k \geq 2 \).

### Kết luận

Do đó, theo phương pháp quy nạp, ta có thể khẳng định rằng bất đẳng thức \( 3^n > 3n + 1 \) đúng với mọi số tự nhiên \( n \geq 2 \).