Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### a) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành:

1. **Tính chất của hình bình hành**: Một tứ giác là hình bình hành nếu như hai cặp cạnh đối diện song song.
2. **Đường thẳng AE** là đường vuông góc với BD, và **đường thẳng CF** cũng vuông góc với BD.
3. Do đó, **AE || CF** (cả hai đường thẳng đều vuông góc với đường thẳng BD).
4. Cạnh đối diện AE và CF có chiều dài bằng nhau (cạnh AE cắt DC tại E và CF cắt AB tại F).
5. Vậy, tứ giác AECF là hình bình hành.

### b) Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AD và CF. Chứng minh AM = BF:

1. **AD** là một cạnh của hình bình hành ABCD.
2. Cạnh **CF** song song với AE (đã chứng minh ở phần a), do đó tứ giác AMCF cũng có các cạnh đối diện song song.
3. Từ đó, theo tính chất của hình bình hành, ta có AM = CF.
4. Cũng tương tự, từ việc AE song song với CF, ta suy ra BF = CE.
5. Kết hợp lại, sẽ có AM = BF.

### c) Chứng minh MC = CE = MF:

1. Từ hình bình hành AECF, theo tính chất, các đường chéo AE và CF sẽ cắt nhau tại một điểm.
2. Từ đó, ta có:
- **MC** là khoảng cách từ M đến C,
- **CE** là khoảng cách từ C đến E,
- **MF** là khoảng cách từ M đến F.
3. Do MC & CE nằm trên hai đường thẳng song song với BC (tính chất hình bình hành, cạnh cách đều).
4. Vì vậy, ta có thể kết luận: **MC = CE = MF**, nhờ tính chất cạnh và đường chéo của hình bình hành.

Tóm tắt lại, tất cả các yêu cầu đều được chứng minh dựa trên tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng đối diện ở trong bài toán.