Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành

1. **Xác định các điểm**:
- E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD.
- A, B, C, D là các đỉnh của hình bình hành ABCD.

2. **Hai cặp cạnh song song**:
- AE // DF: Vì E và F là trung điểm của các đoạn AB và CD, nên AE // DF theo định nghĩa của hình bình hành (hai cạnh đối song song).
- EF // AD: Từ tính chất của hình bình hành, AD // BC và vì E, F là trung điểm nên EF sẽ song song với AD.

3. **Chứng minh**:
- Có hai cặp cạnh tương ứng AE // DF và EF // AD, do đó AEFD là hình bình hành.

### b) Gọi I là trung điểm của EF, chứng minh I là trung điểm của BD

1. **Chứng minh I là trung điểm của EF**:
- I là trung điểm của EF, tức là \(\overline{EI} = \overline{IF}\).

2. **Tính chất của hình bình hành**:
- Trong hình bình hành, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm. Vậy I sẽ nằm trên BD.
- Chiều dài của BF bằng chiều dài của AD, và EI + IF sẽ bằng với chiều dài toàn bộ EF.

3. **Chứng minh I là trung điểm của BD**:
- Do BD cũng là đường chéo của hình bình hành ABCD, nên I cũng sẽ cắt BD tại trung điểm vì tính chất của hình bình hành.

Như vậy, \(I\) là trung điểm của đoạn \(BD\).

Tóm lại:
- AEFD là hình bình hành.
- I là trung điểm của BD.