Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác AMN.

Để chứng minh tam giác AMB bằng tam giác AMN, chúng ta sẽ sử dụng tiêu chí bằng nhau của tam giác:

1. Ta có:
- \( AM \) là tia phân giác của góc \( A \), do đó:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AN}
\]
- Theo giả thiết, \( AN = AB \). Thay vào biểu thức trên:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AB}
\]

2. Theo tiên đề (hệ quả từ định lý phân giác), ta có:
\[
\frac{AM}{AN} = \frac{AB}{AC} = k, \text{ với } k \text{ là một hằng số.}
\]
Do đó \( AM = k \cdot AN \) với \( AN = AB \), suy ra \( AM = k \cdot AB \).

3. Vậy từ điều này, chúng ta có:
- Cạnh \( AM \) chung.
- \( AB = AN \).
- Cạnh \( MB \) đối diện với góc \( A \) là cạnh \( MN \) cũng đối diện với góc \( A \).

Do đó, tam giác \( AMB \) bằng tam giác \( AMN \) theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCG).

### Phần b: Chứng minh ME = MC.

1. Đứng trên giả thiết rằng \( E \) là giao điểm của \( AB \) và \( NM \). Vì \( AM \) là tia phân giác nên:
- \( AB \) và \( AN \) có tỷ lệ giống nhau, là \( \frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MC} \).

2. Đặt \( AB = x \), thì suy ra \( AN = x \).
Từ thuộc tính của tia phân giác và do \( AB \) song song với \( NM \), có:
\[
\frac{AB}{AN} = \frac{MB}{MC}
\]
Mặt khác, vì \( AN = AB \), do đó:
\[
MB = MC
\]
Suy ra \( ME = MC \) vì \( E \) chia đoạn \( NM \) thành 2 đoạn bằng nhau theo định nghĩa giao điểm.

### Phần c: Chứng minh góc BNK vuông.

1. Từ phần b, chúng ta đã biết được rằng \( ME = MC \).

2. Kẻ \( NK \) song song với \( AM \), và vì \( AM \) là tia phân giác, và \( NK \) song song với \( AM \):
\[
\angle BNK = \angle BAM
\]

3. Và lúc này, chúng ta có một cặp góc đối đỉnh và cặp góc đồng vị nên ta có thể kết luận rằng:
\[
BN \perp AC
\]
Vì vậy, từ phần này, ta có thể kết luận \( \angle BNK = 90^\circ \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán dựa trên việc sử dụng các định lý về tam giác, tia phân giác và tính chất của các hình.