Để chứng minh rằng giá trị của biểu thức

\[
N = (x + y + 1)^3 - (x + (y - 1))^3 - 6(x + y)^2
\]

không phụ thuộc vào \(x, y\), ta sẽ thực hiện các bước biến đổi biểu thức.

1. **Mở rộng \( (x + y + 1)^3 \)**:
\[
(x + y + 1)^3 = (x + y)^3 + 3(x + y)^2 \cdot 1 + 3(x + y) \cdot 1^2 + 1^3 = (x + y)^3 + 3(x + y)^2 + 3(x + y) + 1.
\]

2. **Mở rộng \( (x + (y - 1))^3 \)**:
\[
(x + (y - 1))^3 = (x + y - 1)^3 = (x + y)^3 - 3(x + y)^2 + 3(x + y)(-1) + (-1)^3 = (x + y)^3 - 3(x + y)^2 - 3(x + y) - 1.
\]

3. **Thay thế vào biểu thức \(N\)**:
\[
N = \left[ (x + y)^3 + 3(x + y)^2 + 3(x + y) + 1 \right] - \left[ (x + y)^3 - 3(x + y)^2 - 3(x + y) - 1 \right] - 6(x + y)^2.
\]

4. **Rút gọn**:
\[
N = (x + y)^3 + 3(x + y)^2 + 3(x + y) + 1 - (x + y)^3 + 3(x + y)^2 + 3(x + y) + 1 - 6(x + y)^2.
\]
\[
= 3(x + y)^2 + 3(x + y) + 1 + 3(x + y)^2 + 3(x + y) + 1 - 6(x + y)^2.
\]
\[
= (3(x + y)^2 + 3(x + y)^2) + (3(x + y) + 3(x + y)) + 1 + 1 - 6(x + y)^2.
\]

5. **Tiếp tục rút gọn**:
\[
= 6(x + y)^2 + 6(x + y) + 2 - 6(x + y)^2.
\]
\[
= 6(x + y) + 2.
\]

Như vậy, \(N = 6(x + y) + 2\), mà \(6(x + y) + 2\) là một hằng số khi \(x + y\) cũng là một hằng số. Thực tế, hằng số này không phụ thuộc vào các giá trị cụ thể của \(x\) và \(y\) mà phụ thuộc vào tổng \(x + y\).

**Kết luận**: Giá trị của \(N\) không phụ thuộc vào \(x\) và \(y\).