Để giải bài toán này, chúng ta sẽ theo từng câu hỏi trong bài.

**Bài 1:**

a) Chứng minh rằng \( MN \parallel AC \).

- Theo tính chất của hình thang, trong hình thang \( ABCD \), hai cạnh đáy là \( AB \) và \( CD \) song song với nhau. Bởi vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( BC \), ta có thể sử dụng định lý trung bình để chứng minh rằng \( MN \) song song với \( AC \).

- Theo định lý trung bình, ta có:
\[
MN = \frac{AB + CD}{2}
\]
- Do đó, \( MN \parallel AC \).

b) Tứ giác \( MNPQ \) là hình gì?

- Tứ giác \( MNPQ \) là một hình bình hành, vì \( MN \parallel AC \) và \( PQ \parallel AB \) (có các cạnh đối song song), đồng thời \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( BC \), \( P \) và \( Q \) là trung điểm của \( CD \) và \( DA \).

**Bài 2:**

a) Chứng minh \( MN = IK \).

- Kem biết rằng \( I \) và \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( GB \) và \( GC \). Sử dụng định nghĩa trung điểm và tính chất của các đoạn thẳng song song, ta thấy rằng \( MN \) và \( IK \) cũng có cùng độ dài.

b) Tứ giác \( MNIK \) là hình gì?

- Tứ giác \( MNIK \) là hình bình hành bởi vì \( MK \parallel NI \) và \( MN \parallel IK \).

**Bài 3:**

a) Tính \( MI \).

- Để tính \( MI \), ta cần biết thêm về các độ dài và tính chất của hình. Tuy nhiên, nếu \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( I \) là trung điểm của \( GB \), thì:
\[
MI = \frac{AB}{2} = 3 \text{ (nếu } AB = 6 \text{)}
\]

b) Chứng minh \( MI = KN \).

- Tương tự như vậy, vì \( N \) là trung điểm của \( BC \) và \( K \) là trung điểm của \( GC \), ta có thể chứng minh rằng \( MI \) và \( KN \) có cùng độ dài dựa trên các đoạn thẳng song song và tính chất của các trung điểm.

Cuối cùng, bạn có thể kết luận và tổng hợp các kết quả trên giấy.