Để tìm cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình:

\[
2xy + 6x^2 - 3x = 11
\]

Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Giải phương trình theo \( y \)

Chuyển phương trình về dạng:

\[
2xy = 11 - 6x^2 + 3x
\]

Rồi chia cả hai vế cho \( 2x \) (chú ý rằng \( x \neq 0 \)):

\[
y = \frac{11 - 6x^2 + 3x}{2x}
\]

### Bước 2: Phân tích kết quả

Từ công thức vừa tìm được, ta cần \( 11 - 6x^2 + 3x \) phải chia hết cho \( 2x \). Ta sẽ phân tích một số giá trị của \( x \) để tìm các giá trị nguyên tương ứng của \( y \).

### Bước 3: Kiểm tra các giá trị nguyên cho \( x \)

**Trường hợp 1: \( x = 1 \)**

\[
y = \frac{11 - 6(1^2) + 3(1)}{2(1)} = \frac{11 - 6 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4
\]
\(\Rightarrow (x, y) = (1, 4)\)

**Trường hợp 2: \( x = 2 \)**

\[
y = \frac{11 - 6(2^2) + 3(2)}{2(2)} = \frac{11 - 24 + 6}{4} = \frac{-7}{4} \text{ (không nguyên)}
\]

**Trường hợp 3: \( x = -1 \)**

\[
y = \frac{11 - 6(-1^2) + 3(-1)}{2(-1)} = \frac{11 - 6 - 3}{-2} = \frac{2}{-2} = -1
\]
\(\Rightarrow (x, y) = (-1, -1)\)

**Trường hợp 4: \( x = -2 \)**

\[
y = \frac{11 - 6(-2^2) + 3(-2)}{2(-2)} = \frac{11 - 24 - 6}{-4} = \frac{-19}{-4} \text{ (không nguyên)}
\]

### Bước 4: Tìm các giá trị khác của \( x \)

Tiếp tục kiểm tra các giá trị khác như \( x = 3, -3, 0, ... \).

**Trường hợp 5: \( x = 3 \)**

\[
y = \frac{11 - 6(3^2) + 3(3)}{2(3)} = \frac{11 - 54 + 9}{6} = \frac{-34}{6} \text{ (không nguyên)}
\]

**Trường hợp 6: \( x = -3 \)**

\[
y = \frac{11 - 6(-3^2) + 3(-3)}{2(-3)} = \frac{11 - 54 - 9}{-6} = \frac{-52}{-6} = \frac{26}{3} \text{ (không nguyên)}
\]

### Kết luận

Các cặp số nguyên \( (x, y) \) thoả mãn phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 4) \quad \text{và} \quad (x, y) = (-1, -1)
\]