Để chứng minh bài toán đã cho, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác CDM
Ta có:
- M là trung điểm của AC, tức là \( AM = MC \).
- D được xác định sao cho \( MB = MD \) và nằm trên tia đối với MB.
- Đặt \( MB = x \). Do đó, \( MD = x \).

Ta cần chứng minh rằng:
- \( ABM \) và \( CDM \) là hai tam giác bằng nhau.

**Chứng minh:**
1. Trong hai tam giác \( ABM \) và \( CDM \):
- Cạnh \( AM = MC \) (vì M là trung điểm).
- Cạnh \( MB = MD \) (theo giả thiết).
- Cạnh chung \( BM \).

Vì vậy, theo tiêu chuẩn hai cạnh và góc giữa:
\[ \Delta ABM \cong \Delta CDM \]

### b) Chứng minh DC vuông góc với AC và từ đó chứng minh AB // CD
Ta có:
- Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng \( DC \) vuông góc với \( AC \).
- Tam giác \( ABC \) có \( \angle ABC = 90^\circ \).

**Chứng minh:**
1. Xét tam giác vuông \( ABM \) và tam giác \( CDM \) vừa chứng minh là đồng dạng.
2. Từ đó, \( \angle ABM = \angle CDM \) và \( \angle CBM = \angle DCM \).
3. Ta biết \( AM \) vuông góc với \( BC \) (bởi vì \( B \) là đỉnh vuông của tam giác \( ABC \)).
4. Do đó, bổ sung góc của \( BM \) với \( AC \):
- \( DC \) vuông góc với \( AC \).
5. Vì \( DC \) vuông góc với \( AC \) và \( AB \) cũng vuông góc với \( AC \) nên:
- \( AB \) // \( CD \) (cùng vuông góc với AC).

### c) Chứng minh E, C, D thẳng hàng và C là trung điểm DE
Cho \( K \) là trung điểm của \( BC \) và \( E \) được xác định trên tia \( AK \) sao cho \( K \) là trung điểm của \( AE \).

**Chứng minh:**
1. Đầu tiên, từ \( K \) là trung điểm của \( BC \), có:
\[
BK = KC
\]

2. Ta đã chứng minh trước đó rằng \( AB \) // \( CD \), điều này dẫn đến:
- \( \angle KAB = \angle KCD \)

Do đó, các góc này khuếch đại đồng dạng, dẫn đến \( \triangle KAB \) và \( \triangle KCD \) đều đồng dạng.

3. Từ \( K \) là trung điểm của \( AE \):
- \( KA = KE \)
- Mặt khác, do \( C \) là một trung điểm, \( CD \) và \( AC \) là các cạnh của các tam giác này là thẳng hàng.

Kết hợp lại, \( E, C, D \) thẳng hàng với \( C \) là trung điểm của đoạn đường \( DE \).

Tóm lại, tất cả các yêu cầu đều đã được chứng minh thành công.