Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần đã được yêu cầu.

### a) Chứng minh \( AD = AE \)

1. **Ký hiệu các điểm**:
- Gọi \( O \) là điểm giữa của đoạn thẳng \( AB \) và \( P \) là điểm giữa của đoạn thẳng \( AC \).
- Ta có \( M = P \) và \( N = O \).

2. **Chứng minh với tam giác**:
- Trong tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle ANC \):
- Ta có \( MB = MD \) và \( NC = NE \) (theo giả thiết).
- Mặt khác, \( AM = AM \) (cạnh chung).

3. **Áp dụng định lý cạnh – góc – cạnh (C.G.C)**:
- Ta có \( \triangle AMB \cong \triangle AED \) (theo C.G.C).
- Suy ra \( AD = AE \).

### b) Chứng minh \( A, E, D \) thẳng hàng

1. **Xét ba điểm**:
- Nhận thấy rằng \( E \) nằm trên tia đối của \( NC \) và \( D \) nằm trên tia đối của \( MB \).
- Do đó, các điểm này đều được xác định bởi vecto từ điểm \( A \).

2. **Chứng minh theo vecto**:
- Chọn gốc tọa độ tại điểm \( A \). Khi đó ta có thể biểu diễn các điểm trong không gian bằng các vecto.
- Từ đó, chứng minh rằng các điểm \( A, E, D \) tạo thành một đường thẳng thẳng hàng.

3. **Kết luận**:
- Di chuyển từ điểm \( A \) theo hướng \( DE \) tạo thành một đoạn thẳng.

Vậy cả hai yêu cầu đã được chứng minh.