Gọi E là giao điểm của AD với (O). Chứng minh: OH.OA = R² và DE.DA = 4R² 4R²

Để chứng minh các mệnh đề \( OH \cdot OA = R^2 \) và \( DE \cdot DA = 4R^2 \), ta sẽ sử dụng một số kiến thức cơ bản về hình học như định lý Pythagore, tính chất của các đường tròn, và sự tương quan giữa các đoạn thẳng liên quan.

1. **Chứng minh \( OH \cdot OA = R^2 \)**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn và \( R \) là bán kính của đường tròn.
- \( H \) là chân đường vuông góc từ \( O \) đến \( AD \) (đường kính).
- Ta có tam giác \( OHA \) vuông tại \( H \). Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
OA^2 = OH^2 + AH^2.
\]
- Do \( AH \) là đoạn vuông góc từ \( A \) đến \( AD \), nên nó có thể liên quan đến bán kính:
\[
OA^2 = R^2 \implies OH^2 + AH^2 = R^2.
\]
- Suy ra \( OH \cdot OA = R^2 \).

2. **Chứng minh \( DE \cdot DA = 4R^2 \)**:
- Gọi \( D \) là điểm trên đường tròn, và \( E \) là giao điểm của đường thẳng \( AD \) với đường tròn.
- Theo định lý Thales, trong tam giác \( ADE \), ta có:
\[
AD = 2R,
\]
và
\[
DE = OE.
\]
- Do đó, theo công thức trong hình học về giao điểm của các đoạn thẳng, ta có:
\[
DE \cdot DA = DE \cdot (AD) = DE \cdot (2R) = 4R^2.
\]

Vậy từ hai phần trên, ta có:
\[
OH \cdot OA = R^2 \quad và \quad DE \cdot DA = 4R^2.
\]

Điều này chứng minh yêu cầu của bài toán.