Để chứng minh các tỉ lệ và đẳng thức trong tam giác ABC có đường trung tuyến AD và trọng tâm G, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của các điểm trong tam giác.

### a) Chứng minh rằng \(\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}\)

Gọi \(AD\) là đường trung tuyến, nghĩa là \(D\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Ta có trọng tâm \(G\) chia đoạn \(AD\) theo tỉ lệ \(2:1\), nghĩa là \(\frac{AG}{GD} = 2\).

Ta có:

1. **Tính chất của trọng tâm**:
- \(G\) chia \(AD\) thành hai đoạn với tỉ lệ \(AG:GD = 2:1\) tức là \(AG = 2 \times GD\).

2. **Dựng đường thẳng \(EF\) song song với \(BC\)**:
- Do đường thẳng \(EF\) là đường thẳng đi qua \(G\) cắt \(AB\) tại \(E\) và \(AC\) tại \(F\), do đó theo tính chất của đoạn thẳng nằm ngang,
- Ta có tỉ lệ tương ứng với các đoạn:
\[
\frac{BE}{AE} = \frac{BG}{AG} = \frac{MG}{AG}
\]
- Ở đây, trọng tâm \(G\) chia đoạn \(AD\) thành \(AG\) và \(GD\) với \(GD\) là một phần ba đoạn \(AD\).

Như vậy, ta đã chứng minh được:
\[
\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}
\]

### b) Chứng minh rằng \(\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1\)

1. **Sử dụng tính chất của đoạn thẳng song song**:
- Vì \(EF\) là đường thẳng song song với \(BC\) nên theo hệ thức tỉ lệ:
\[
\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = \frac{BE + CF}{AE + AF}
\]

2. **Áp dụng định lý đoạn tỷ lệ**:
- \(EF\) cắt \(AB\) và \(AC\) tạo thành các đoạn \(AE\) và \(AF\) và tổng các phần của các đoạn này là chiều dài của \(AB\) và \(AC\)- do \(EF\) là đoạn thẳng song song với \(BC\).

Khi đó, tổng tỉ lệ đoạn được xác định là:
\[
\frac{BE + CF}{AE + AF} = 1
\]

Cuối cùng, ta có:
\[
\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1
\]

### Kết luận:
Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu:
- \(\frac{BE}{AE} = \frac{MG}{AG}\)
- \(\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1\)

Hy vọng rằng chứng minh này có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về tỉ lệ giữa các đoạn trong tam giác!