Bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx
\]

Ta sẽ sắp xếp lại các hạng tử:

\[
x^2 - xy + y^2 - yz + z^2 - zx = 0
\]

Ta có thể viết lại phương trình này theo dạng khác bằng cách cộng và trừ các hạng tử phù hợp:

\[
x^2 - xy + y^2 - yz + z^2 - zx = (x^2 - xy) + (y^2 - yz) + (z^2 - zx) = 0
\]

Nhóm các hạng tử lại thành ba nhóm:

1. \(x^2 - xy = x(x - y)\)
2. \(y^2 - yz = y(y - z)\)
3. \(z^2 - zx = z(z - x)\)

Khi đó, ta có:

\[
x(x-y) + y(y-z) + z(z-x) = 0
\]

Xét từng trường hợp dưới đây:

- Nếu \(x = y = z\), phương trình trở thành đúng.

- Nếu không, ta có thể giả sử \(x, y, z\) không bằng nhau. Giả định rằng không có hai giá trị nào bằng nhau, tức là \(x\), \(y\), \(z\) đều khác. Ta phân tích tử (x-y), (y-z), (z-x).

Giả sử không phải tất cả các biến này đều bằng nhau. Có thể xảy ra một vài trường hợp:

- Nếu \(x > y\), thì \(x - y > 0\) và dẫn đến \(x(x - y) > 0\).
- Nếu \(y > z\), thì \(y(y - z) > 0\).
- Nếu \(z > x\), thì \(z(z - x) < 0\), làm cho tổng không thể bằng 0.

Bằng cách này, ta thấy rằng không thể có một trường hợp nào mà \(x, y, z\) khác nhau dẫn đến tổng bằng 0. Kết luận là:

\[
x = y = z
\]

Vì vậy, đã chứng minh được rằng nếu \(x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx\), thì \(x\), \(y\), và \(z\) phải bằng nhau.