Chứng minh AHBD, AHCE, BCED là những hình chữ nhật

Để chứng minh các hình AHBD, AHCE và BCED là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng tính chất của các hình chữ nhật và một số tính chất của tam giác.

### a) Chứng minh AHBD, AHCE, BCED là các hình chữ nhật

**Chứng minh hình AHBD là hình chữ nhật:**

- **AH** vuông góc với **BC** do **AH** là đường cao trong tam giác cân tại **A**.
- **M** là trung điểm của **AB**, nên **AM = MB**.
- **D** sao cho **M** là trung điểm của **HD** ⇒ **HM = MD**. Như vậy, **HM = AM** (vì **AM = MB**) ⇒ **HM = MB**.
- Vậy **AH** vuông góc với **MD** (vì **M** là trung điểm).
- Do đó, **AH** vuông góc với cả **BD** (vì **D** là điểm trên đường vuông góc).
- Từ đây, ta kết luận rằng **AHBD** là hình chữ nhật.

**Chứng minh hình AHCE là hình chữ nhật:**

- Tương tự như với hình AHBD, ta có:
- **AH** vuông góc với **BC**.
- **N** là trung điểm của **AC** nên **AN = NC**.
- **E** sao cho **N** là trung điểm của **HE** ⇒ **HN = NE**.
- Tương tự, ta kết luận rằng **AHCE** là hình chữ nhật.

**Chứng minh hình BCED là hình chữ nhật:**

- Từ các chứng minh ở trên, ta thấy:
- **BE** vuông góc với **AH** (vì **E** nằm trên đường vuông góc từ **H**).
- **DC** cũng vuông góc với **AH** (tương tự như **B** với **AH**).
- Từ đó, cho thấy là **BC** vuông góc với cả **BE** và **CD**.

Vậy cả ba hình AHBD, AHCE, BCED đều là hình chữ nhật.

### b) Tại sao giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH?

- Gọi **I** là giao điểm của **BE** và **CD**.
- Vì **AH** chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông cùng diện tích (cả hai tam giác đều có chứa **AH** và cạnh đáy là **BC**), nên **AH** chia đều khoảng cách từ điểm **H** tới các cạnh tại **B** và **C**.
- Ta có **BE** và **CD** đều là đoạn thẳng nối các điểm kéo dài từ **D** và **E** tới **B** và **C**. Do hai hình chữ nhật đã chứng minh và tính chất những điểm giữa các đoạn thẳng, ta khẳng định rằng **I** (giao điểm của **BE** và **CD**) chính là trung điểm của **AH**.

### c) Giải thích tại sao DH=HE, BE=CD

- **DH = HE**: Bởi vì **M** là trung điểm của **HD** và **N** là trung điểm của **HE**, nên ta có:
\[
HM = MD \quad \text{và} \quad HN = NE \implies DH = HE
\]

- **BE = CD**: Các đoạn thẳng này đều bằng nhau vì chúng bắt đầu từ cùng một điểm cao, tức là từ điểm vuông góc **H** tới các cạnh đối xứng (các hình chữ nhật đã tạo trên).

Các đoạn này đều tạo ra một cấu trúc đối xứng và tương đương trong tam giác cân, do đó ta có thể kết luận chúng bằng nhau.

## Kết luận
Ba câu hỏi a), b), và c) đã được chứng minh dựa trên các tính chất của tam giác cân, hình chữ nhật và các tính chất trung điểm.