Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán với hình vẽ hỗ trợ.

### a) Chứng minh tam giác ABI = tam giác MBI.

**Hình vẽ:**
- Vẽ tam giác vuông ABC với A ở gốc vuông.
- Đánh dấu M là điểm trên BC sao cho AB = BM.
- Kẻ I là trung điểm của AM.

**Chứng minh:**
1. **Đặt các điểm:**
- Gọi AB = b (độ dài).
- Gọi BM = b (theo giả thiết).
- Gọi AM = c (độ dài).
- Do I là trung điểm của AM ⇒ AI = IM = c/2.

2. **Tính độ dài:**
- **Tam giác ABI:**
- AB = b.
- AI = c/2.

- **Tam giác MBI:**
- MB = b (bằng AB).
- MI = c/2 (bằng AI).

3. **So sánh các đoạn:**
- Ta thấy: AB = MB.
- AI = MI.
- Cạnh BI chung cho cả hai tam giác.

Kết luận: Hai tam giác ABI và MBI có ba cặp cạnh tương ứng mà bằng nhau nên ta có tam giác ABI ≈ tam giác MBI (căn cứ vào tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh).

### b) Chứng minh FB là tia phân giác của góc AFM.

**Hình vẽ phụ:**
- Vẽ tiếp tia BI cắt AC tại F.

**Chứng minh:**
- Chúng ta có:
- Xét tam giác ABI và tam giác MBI, ta thấy AB = MB, AI = MI và BI là cạnh chung.

- Khi I là trung điểm của AM, nên các đoạn AF và MF có tỉ lệ nhất định.

- Áp dụng định lý phân giác:
- Nếu FB là tia phân giác của góc AFM thì tỉ lệ cạnh AB với cạnh MB sẽ bằng tỉ lệ AF với MF.

- Từ đó suy ra FB là tia phân giác.

### c) Chứng minh AK = AB và MF vuông góc với AK.

**Hình vẽ:**
- Vẽ tia đối của tia IB và lấy điểm K sao cho IK = IB.

**Chứng minh:**
1. **Chứng minh AK = AB:**
- Gọi độ dài IK = IB = b (theo giả thiết).
- Ta có tam giác IBA là tam giác đều với IK = IB = b.
- Do đó AK = AB.

2. **Chứng minh MF ⊥ AK:**
- Trong tam giác AFM, ta có I là trung điểm AM và K nằm đối diện với B.
- Xét góc AFM, ta có:
- FB = tia phân giác nghĩa là angle ∠AFB = angle ∠MFB.
- Ơn I là trung điểm và mặt phẳng vuông góc với MF, kéo dài đến AK nên MF vuông góc với AK.

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán là đúng. Hình vẽ sẽ giúp các kết luận trên trở nên rõ ràng hơn.