Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh rằng \( CH \) vuông góc với \( AB \)

Ta xem xét tam giác \( ABC \) với điểm \( I \) là chân đường cao từ \( A \) đến \( BC \). Để chứng minh \( CH \perp AB \), ta cần chỉ ra rằng \( H \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại điểm \( C \).

1. Xét hai hình chữ nhật \( ACxI \) và \( BMy \) (vì \( Ax \perp AC \) và \( By \parallel AC \)).
2. Ta có phần hình \( CMI \), nơi \( M \) là giao điểm của \( Ax \) và \( By \). Do đó, \( CM = CI \) và \( BI = BH \) (tính chất đường cao).
3. Từ đó, ta có thể kết luận rằng \( CI \perp AB \) và \( CH \perp AB \) (khi \( H \) là thuộc điểm cắt của \( BQ \) và \( AI \)).

### b) Chứng minh rằng tam giác \( PIQ \) là tam giác vuông cân

1. Ta đã xác định được \( P \) là trung điểm của \( AB \). Do đó, \( AP = PB \).
2. Kể từ điểm \( I \) đến \( Q \) (là phần phân đoạn trên \( AC \)), ta có thể thấy rằng \( IQ \) trở thành chiều cao từ \( I \) xuống \( AC \).
3. Từ đó, ta có \( PI = PQ \) và hai đoạn \( PI \) và \( IQ \) là các cạnh tương ứng của tam giác vuông ở \( I \).
4. Do đó, \( PIQ \) sẽ là tam giác vuông cân, vì các cạnh nối với các phương vuông góc.

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được rằng \( CH \perp AB \) và tam giác \( PIQ \) là tam giác vuông cân.