Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một.

**a. Tứ giác MNPQ là hình gì?**

- M và N là trung điểm của AC và BC. Điều này có nghĩa là:
- \( M = \frac{A + C}{2} \)
- \( N = \frac{B + C}{2} \)

Do P là một điểm trên đoạn BD, mặt phẳng (MNP) sẽ được xác định bởi ba điểm M, N, và P.

- Khi mặt phẳng (MNP) cắt cạnh AD tại điểm Q, tứ giác MNPQ sẽ được hình thành.
- MNP là ba điểm không đồng phẳng (vì A, B, C, D là bốn điểm không đồng phẳng trong không gian), do đó tứ giác MNPQ sẽ có tính chất là một tứ giác trong mặt phẳng này.

Tuy nhiên, không thể xác định một cách chắc chắn hình dạng của tứ giác MNPQ mà không có thêm thông tin về vị trí của điểm P. Trong trường hợp chung, nó có thể là hình vuông, hình chữ nhật hoặc tứ giác bất kỳ tùy thuộc vào vị trí của P.

**b. Giao điểm I của MQ và NP**

- Để xác định giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP, chúng ta phải xét các vectơ.
- Đầu tiên, chúng ta cần biểu diễn hai đường thẳng này.
- MQ kết nối M và Q.
- NP kết nối N và P.

Để xác định giao điểm I, ta có thể sử dụng phương pháp tham số hóa các đoạn thẳng.

Giả sử MQ được tham số hóa với tham số \( t \):
- Gọi điểm Q là một điểm thuộc đường thẳng AD. Có thể biểu diễn điểm Q như sau:
\[
Q = A + k(D - A) \quad (k \in [0, 1])
\]
- Điểm I trên MQ có thể được tham số hóa là:
\[
I = M + t(Q - M) \quad (t \in [0, 1])
\]

Tương tự, NP được tham số hóa với tham số \( s \) (điểm NP qua N và P):
- Gọi điểm P là một điểm trên đoạn BD:
\[
P = B + m(D - B) \quad (m \in [0, 1])
\]
- Điểm I trên NP sẽ là:
\[
I = N + s(P - N) \quad (s \in [0, 1])
\]

Để tìm giao điểm I, chúng ta cần giải hệ phương trình cho \( I = MQ \) và \( I = NP \).

Tóm lại, để trả lời đầy đủ cho câu hỏi của bạn về hình dạng của tứ giác MNPQ và vị trí giao điểm I, cần thêm thông tin về vị trí điểm P trên đoạn BD. Tuy nhiên, hình dạng MNPQ sẽ là một tứ giác trong mặt phẳng (MNP) và I là giao điểm của hai đường thẳng MQ và NP.