Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy điểm C sao cho AC > BC. Gọi I là trung điểm AC. Kẻ tia Ax vuông góc AB

Để giải bài toán này, ta lần lượt làm từng phần:

### Phần 1:
#### a. Chứng minh góc ACB bằng 90 độ và suy ra độ dài BC theo R.

Chúng ta có đường tròn tâm O và đường kính AB. Theo tính chất của đường tròn, mọi tam giác mà có một cạnh là đường kính sẽ có góc đối diện với cạnh đó là 90 độ. Do đó, góc ACB = 90 độ.

Từ hình vẽ, ta có OA = OB = R (với R là bán kính). Vì I là trung điểm AC, nên:

- AC = AI + IC
- BC = IB

Vì AC > BC và I là trung điểm AC, công thức cạnh trong tam giác vuông ACB với ACB = 90 độ, ta có:

\[
BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(R)^2 - (R)^2} = R.
\]

Do đó, BC có thể viết dưới dạng các thang đo bằng R.

#### b. OM là tia phân giác của góc COA

Để chứng minh OM là tia phân giác của góc COA, ta sử dụng tính chất của tia phân giác. Tia phân giác sẽ chia góc thành hai góc bằng nhau.

### Phần 2:
#### a. Chứng minh D, E, I, C thuộc đường tròn tâm O

Chúng ta có CA là dây cung và kẻ tiếp tuyến tại điểm A, theo định lý tiếp tuyến, ta có DA vuông góc với OA ( bán kính tại A).

Vì D là điểm trên BC, và E là điểm cắt đường tròn tại tiếp tuyến, ta chứng minh D, E, I, C thuộc đường tròn O bằng cách sử dụng định lý tổng 4 góc.

#### b. Chứng minh tam giác ABD cân và OE // BD

Tam giác ABD cân là tam giác có dấu hiệu cân (AB = AD). Đồng thời, vì AE là tiếp tuyến và AD vuông góc với OA, do đó OE // BD.

#### c. Chứng minh DI vuông góc AB

Để chứng minh DI vuông góc với AB, ta có thể sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và các đoạn thẳng. Phần góc sẽ được chứng minh bằng việc sử dụng hệ thức lượng trong tam giác.

#### d. Khi C di chuyển trên đường tròn tâm O thì D chạy trên đường nào?

Khi điểm C di chuyển trên đường tròn, điểm D cũng di chuyển và sẽ tạo thành một đường thẳng hoặc một đường cong phụ thuộc vào sự chuyển động của C. D có thể di chuyển theo một hình elip hoặc đường tròn nhỏ do tính chất đồng dạng.

Để hoàn tất bài toán này, ta có thể sử dụng hình vẽ để mô tả mọi phần đều chạy theo quy luật của đường tròn.

Nếu bạn cần thêm thông tin chi tiết hoặc ví dụ để minh họa, xin cho tôi biết!