Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường trung tuyến AM, BN, CE cắt nhau tại K. Cho đường thẳng x đi qua K cắt AB tại H và cắt AC tại Q. Kẻ BI // AM và CF // AM ( I và F thuộc đường thẳng x ). Chứng minh: BH/AH = CQ/AQ

Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{BH}{AH} = \frac{CQ}{AQ}\), ta sẽ sử dụng định nghĩa của các đường trung tuyến và tính chất của tam giác vuông cùng với tính đồng dạng của các tam giác.

1. **Ký hiệu và thông tin đã cho**:
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
- \(AM\) là đường trung tuyến từ \(A\) đến \(M\) (trung điểm của BC).
- \(BN\) và \(CE\) cũng là các đường trung tuyến.
- Điểm \(K\) là giao điểm của các đường trung tuyến \(AM\), \(BN\) và \(CE\).
- Đường thẳng \(x\) cắt \(AB\) tại \(H\) và cắt \(AC\) tại \(Q\).
- \(BI \parallel AM\) và \(CF \parallel AM\) với \(I\) và \(F\) thuộc đường thẳng \(x\).

2. **Tính chất của đường trung tuyến**:
- Đường trung tuyến \(AM\) chia tam giác \(ABC\) thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
- Tính chất đồng dạng giữa các tam giác: do \(BI \parallel AM\) và \(CF \parallel AM\), ta có:
- Tam giác \(ABH\) đồng dạng với tam giác \(AIM\) (xét điểm \(I\) trên đường thẳng \(x\)).
- Tam giác \(ACQ\) đồng dạng với tam giác \(AFM\) (xét điểm \(F\) trên đường thẳng \(x\)).

3. **Thiết lập tỉ lệ**:
- Từ tính chất đồng dạng của tam giác \(ABH\) và \(AIM\) ta có:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{BI}{AM}
\]
- Tương tự, từ tính chất đồng dạng của tam giác \(ACQ\) và \(AFM\) ta có:
\[
\frac{CQ}{AQ} = \frac{CF}{AM}
\]

4. **Sử dụng tính chất song song**:
- Do \(BI \parallel AM\) và \(CF \parallel AM\), có nghĩa là \(BI\) và \(CF\) tạo thành cùng một tỉ lệ với \(AM\). Do đó, \(\frac{BI}{AM} = \frac{CF}{AM}\).

5. **Kết luận**:
- Từ các tỉ lệ vừa thiết lập, ta có:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{BI}{AM} \quad \text{và} \quad \frac{CQ}{AQ} = \frac{CF}{AM}
\]
- Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta suy ra:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{CQ}{AQ}
\]
- Vậy ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{BH}{AH} = \frac{CQ}{AQ}
\]

Do đó, tính chất yêu cầu đã được chứng minh.