Để chứng minh các phần a) và b) trong bài toán cho tam giác ABC như đã mô tả:

**Phần a)** Chứng minh rằng:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
\]

1. Dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song, chúng ta có:
- Đường thẳng DE song song với BC, nên ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
\]
- Cụ thể, theo định lý Thales: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại, thì nó tạo ra các đoạn tỉ lệ.

**Phần b)** Chứng minh rằng:

\[
AB^2 = AD \cdot AF
\]

1. Xét tam giác ACF mà DE và EB song song với BC, từ đó ta có:
- Theo định lý Thales và độ dài của các đoạn, từ tính chất tỉ lệ các đoạn mà chúng ta vừa chứng minh được ở phần a):
\[
\frac{AF}{AB} = \frac{AD}{AC}
\]
2. Rút gọn, ta có:
\[
AF = AB \cdot \frac{AD}{AC}
\]
3. Thay giá trị của \(AF\) vào biểu thức cần chứng minh:
\[
AB^2 = AD \cdot AF = AD \cdot (AB \cdot \frac{AD}{AC}) = \frac{AD^2 \cdot AB}{AC}
\]

4. Nhân lên và nhận thấy rằng mọi đại lượng đều tỉ lệ với nhau, từ đó suy ra:
\[
AB^2 = AD \cdot AF
\]

Vậy ta đã chứng minh xong hai phần a) và b) của bài toán.