Để chứng minh các phần của bài toán về hình thang ABCD, ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang và tỉ lệ đoạn thẳng.

### Chứng minh a)

Ta có hình thang ABCD với AB // CD. Do đường thẳng MN cắt AD tại M và BC tại N, và MN // AB (tương tự với CD), nên áp dụng định lý tỉ lệ đoạn thẳng:

\[
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}
\]

Từ định lý tỉ lệ đoạn thẳng trên, ta có thể viết lại:

\[
AM \cdot NC = BN \cdot MD
\]

Điều này chứng minh được rằng:

\[
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}
\]

### Chứng minh b)

Từ phần a) đã chứng minh, ta có:

\[
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}
\]

Gọi \(k = \frac{AM}{AD}\) và \(m = \frac{CN}{CB}\).

Ta có thể viết lại:

\[
AM = k \cdot AD \quad \text{và} \quad CN = m \cdot CB
\]

Ta sử dụng tính chất của hình thang và các tỉ lệ:

\[
AD + MD = AB \quad \text{(và)} \quad CB + CN = AB
\]

Vì MN // AB và qua M, N, hệ số tỉ lệ giữa các đoạn thẳng như sau:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b) của bài toán.