Để chứng minh các tỷ lệ và tính chất trong hình thang ABCD với các điểm I, O, K, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần cần chứng minh.

### e) Chứng minh \(\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC}\)

Do \(AI\) và \(ID\) là các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (cạnh AB) và đường thẳng \(OI\) song song với \(CD\), chúng ta áp dụng định lý Thales:

- Xét tam giác \(AOD\) và \(IOC\):
- Vì \(OI \parallel CD\), do đó:

\[
\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC}
\]

### f) Chứng minh \(\frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}\)

Tương tự như trên, chúng ta xem xét các đoạn thẳng \(BK\) và \(KC\):

- Xét tam giác \(BKC\) với đường thẳng \(OK\) song song với \(AD\):

\[
\frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}
\]

### c) Chứng minh \(AI \cdot KC = ID \cdot BK\)

Ta đã có:

1. Từ (e): \(\frac{AI}{ID} = \frac{AO}{OC} \Rightarrow AI \cdot OC = ID \cdot AO\)
2. Từ (f): \(\frac{AO}{OC} = \frac{BK}{KC}\)

Kết hợp hai tỉ lệ này:

\[
AI \cdot OC = ID \cdot AO = ID \cdot BK \Rightarrow AI \cdot KC = ID \cdot BK
\]

Như vậy, ta đã chứng minh xong cả ba phần yêu cầu trong bài toán.